关于具有不定权重的分数阶 Hardy-Sobolev 算子特征值的一个注记

本文研究非线性 $p$-分数阶 Hardy 算子 \begin{align*} (-\Delta)_p^{\alpha}u - \mu \frac{|u|^{p-2}u}{|x|^{p\alpha}} = \lambda V(x) |u|^{p-2}u \; \text{在}\; \Omega \text{内}, \quad u = 0 \; \text{在}\; \mathbb{R}^n \setminus\Omega \text{内}, \end{align*} 的特征值，其中 $n>p\alpha$, $p\geq2$, $\alpha\in(0,1)$, $0\leq \mu <C_{n,\alpha,p}$，且 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中包含 $0$ 且具有 Lipschitz 边界的区域。特别地，允许 $\Omega=\mathbb{R}^n$。权函数 $V$ 可以变号且可以有奇点。我们还证明了最小正特征值是简单的，且唯一对应于一个非负特征函数。此外，我们证明了存在一列特征值 $\lambda_k \to \infty$ 当 $k\to\infty$。