图 p-Laplacian 的同调特征值

受拓扑数据分析中持续同调的启发，我们引入图 p-Laplacian $\Delta_p$ 的同调特征值，使我们能够分析和分类非变分特征值。我们展示了同调特征值的稳定性，并证明对任意同调特征值 $\lambda(\Delta_p)$，函数 $p\mapsto p(2\lambda(\Delta_p))^{\frac1p}$ 局部递增，而函数 $p\mapsto 2^{-p}\lambda(\Delta_p)$ 局部递减。作为同调特征值的一类特例，极小极大特征值 $\lambda_1(\Delta_p)$, $\cdots$, $\lambda_k(\Delta_p)$, $\cdots$ 关于 $p\in[1,+\infty)$ 局部 Lipschitz 连续。我们还建立了 $p(2\lambda_k(\Delta_p))^{\frac1p}$ 与 $2^{-p}\lambda_k(\Delta_p)$ 关于 $p\in[1,+\infty)$ 的单调性。这些结果系统地建立了随 $p$ 变化的 $\Delta_p$ 特征值的精细分析，并带来若干应用，包括：（1）解决 Amghibech 关于涉及 p-Laplacian 特征值之函数关于 $p$ 单调性的公开问题；（2）解决图 p-Laplacian 第三特征值是否为极小极大形式的问题；（3）改进 Tudisco 与 Hein 的图 p-Laplacian 高阶 Cheeger 不等式，并将 Lee、Oveis Gharan 与 Trevisan 的多路 Cheeger 不等式推广至 p-Laplacian 情形。此外，对于 1-Laplacian 情形，我们从拓扑组合的角度刻画了同调特征值与极小极大特征值，其思想类似于作者在离散 Morse 理论上的工作。