$\mathrm{L}^\infty$中的特征值问题：最优性条件、对偶性及与最优输运的关系

本文刻画了与Rayleigh商$\left.{\|\nabla u\|_{\mathrm{L}^\infty}}\middle/{\|u\|_\infty}\right.$相关的$\mathrm{L}^\infty$特征值问题，并将其与散度型偏微分方程联系起来，类似于已知的$\mathrm{L}^p$特征值问题和$p<\infty$时的$p$-Laplacian。与现有方法（将$\mathrm{L}^\infty$问题视为$p\to\infty$时$\mathrm{L}^p$问题的极限）不同，我们开发了一个新框架，直接使用凸分析和几何测度论分析极限问题。为此，我们推导了Lipschitz常数泛函$u\mapsto\|\nabla u\|_{\mathrm{L}^\infty}$的次微分的精细刻画。我们证明特征值问题具有形式$\lambda \nu u =-\operatorname{div}(\tau\nabla_\tau u)$，其中$\nu$和$\tau$是分别集中在$|u|$和$|\nabla u|$取最大值的非负测度，$\nabla_\tau u$是$u$关于$\tau$的切向梯度。最后，我们研究了一个对偶Rayleigh商，其极小化子求解与广义Kantorovich-Rubinstein范数相关的最优输运问题。我们的结果适用于Rayleigh商的所有驻点，包括无穷基态、无穷调和势、距离函数等，并推广了文献中的已知结果。