通过熵和最优传输处理矩测度

Cordero-Erausquin 和 Klartag 最近的一篇论文给出了 $\R^d$ 上可表示为合适凸函数 $u$ 的矩测度的测度 $\mu$ 的一个刻画，即具有形式 $(\nabla u)\_\#e^{- u}$，其中 $u:\R^d\to\R\cup\{+\infty\}$，并通过凸函数类中的变分方法找到了相应的 $u$。本文我们提出一种纯粹基于最优传输的方法来重新得到相同的结果。该变分问题变为在密度 $\rho$ 中最小化熵和传输代价，且优化子 $\rho$ 恰好为 $e^{-u}$。这需要为相应的泛函发展一些估计和半连续性结果，这些在最优传输中是自然的。位移凸性的概念在极小化子的刻画和唯一性中起着关键作用。