q-矩测度及其应用：基于最优传输的新方法

2017 年，Bo'az Klartag 在微分几何中关于椭圆型仿射半球的存在性获得了一项新结果。在其方法中，每个凸函数 $\Phi$ : R^n $\rightarrow$ (0, +$\infty$) 对应一个曲面，而该曲面为仿射半球的条件涉及 $\Phi$ 的 2-矩测度（q-矩测度的一个特例，即形如 ($\nabla$$\Phi$) \# ($\Phi$^{--(n+q)}) 的测度，其中 q > 0）。在 Klartag 的论文中，q-矩测度通过变分方法研究，需在凸函数中极小化一个泛函，并借助 Borell-Brascamp-Lieb 不等式进行分析。本文中，我们通过最优传输方法处理同一问题，因为凸函数 $\Phi$ 是一个 Kantorovich 势（正如先前论文中对矩测度所做的那样）。这一新方法中的变分问题转化为在概率测度间极小化一个局部泛函与传输代价，且优化解具有形式 $\rho$ = $\Phi$^{--(n+q)}。