基于最优传输的凸序刻画

对于概率测度 $\mu,\nu$ 和 $\rho$，定义代价泛函 \begin{align*} C(\mu,\rho):=\sup_{\pi\in \Pi(\mu,\rho)} \int \langle x,y\rangle\, \pi(dx,dy),\quad C(\nu,\rho):=\sup_{\pi\in \Pi(\nu,\rho)} \int \langle x,y\rangle\, \pi(dx,dy), \end{align*} 其中 $\langle\cdot, \cdot\rangle$ 表示内积，$\Pi(\cdot,\cdot)$ 是耦合集合。我们证明，$\mathbb{R}^d$ 上具有一阶矩有限的两种概率测度 $\mu$ 和 $\nu$ 处于凸序（即 $\mu\preceq_c\nu$）当且仅当对所有具有有界支撑的 $\mathbb{R}^d$ 上概率测度 $\rho$ 均有 $C(\mu,\rho)\le C(\nu,\rho)$。这推广了 Carlier 的一个结果。我们的证明依赖于对所有 $1$-Lipschitz 函数 $f$ 的 $\int f\,d\nu -\int f\,d\mu$ 下确界的定量估计，该估计通过最优传输对偶和 Brenier 定理得到。基于此结果，我们给出了凸序著名一维刻画的新的证明。我们还描述了用于研究凸序的新计算方法及其在数学金融中模型无关套利策略中的应用。