一般维度下最优鞅传输计划的结构

给定$\R^d$上处于“凸序”的两个概率测度$\mu$和$\nu$，我们研究在具有边缘分布$\mu$和$\nu$的所有鞅中，优化其增量模期望值的单步鞅计划$\pi$在$\R^d\times \R^d$上的形态。尽管对于实直线（即$d=1$的情形）已有大量结果，但对于我们在本文中处理的更丰富且更精细的高维情形，所知甚少。我们证明，只要初始测度$\mu$关于勒贝格测度绝对连续，且一个自然的对偶优化问题可达，便可获得许多结构性结果。其中一个性质是，$\mu$-几乎每个$\R^d$中的$x$都被最优鞅计划传输到一个集中在某支撑集闭凸包极值点上的概率测度$\pi_x$。这将在二维情形下以完全一般性建立，并且对于任何$d\geq 3$，只要边缘分布处于“次调和序”也成立。在某些情况下，例如当目标测度离散时，$\pi_x$支撑在一个$k(x)$-维多胞形的顶点上。许多证明依赖于通过源空间的“凸铺砌”将$\R^d\times \R^d$的“鞅支撑”博雷尔子集分解为互不相交的组件集合。如果鞅是最优的，那么分解中的每个组件都支撑一个受限的最优鞅传输，且其对偶问题可达。这些分解用于在对偶性不可达的情况下获得结构性结果。另一方面，它们也可能与高维Nikodym集相关。