平衡测度上线性系统的最优输运

我们考虑当初始测度与目标测度被假定支撑在 LTI 系统的平衡点集合上时，由线性时不变(LTI)系统的最优控制所产生的凸费用下的最优输运问题。在此情形下，概率测度相对于 Lebesgue 测度是奇异的，因此未在以往关于线性系统最优输运的结果中予以考虑。该问题由诸如机器人学等应用驱动，其中由测度表示的机器人初始与目标位形处于平衡或定常状态。尽管测度具有奇异性质，对于许多具有实际意义的情形，我们通过应用经典最优输运结果证明了 Monge 问题存在解。此外，只要平衡集位于低维空间中，即使 LTI 系统的状态空间维数中等偏高，该问题在计算上也是易于处理的。事实上，对于线性二次问题的一个重要子类，例如具有线性二次费用的双积分器控制问题，其最优输运映射恰好与 Euclidean 费用下的最优输运映射一致。我们通过计算二维双积分器的最小能量费用的最优输运映射展示了我们的结果，尽管由于位置与速度变量，该状态空间是四维的。