关于 Gromov-Wasserstein 问题 Monge 映射的存在性
最优化与控制
2024-07-30 v3
摘要
Gromov--Wasserstein 问题是一个非凸优化问题，其优化域为两个空间上支撑的两个概率测度的传输方案多面体，每个空间配备一个评估点之间相似度的代价函数。与标准最优传输问题类似，自然要问保证最优解具有某种结构的条件，例如这些最优解是否由某个（Monge）映射诱导。我们在欧氏空间中研究该问题，其中代价函数取为（i）内积或（ii）平方距离，这是文献中的两种标准选择。我们在情形（i）下建立了最优映射的存在性，在情形（ii）下建立了最优 2-映射（两个映射图像的并）的存在性，两者均在对源测度的绝对连续性条件下成立。此外，在情形（ii）且维数为一时，我们数值构造了 Gromov--Wasserstein 问题的最优解为 2-映射但不是映射的情形。这表明我们的结果对于该代价一般无法改进。同样在一维情形下，我们还在测度满足某些条件时建立了单调映射的最优性，从而揭示了为何此类映射在数值实验中常表现为最优。
引用
@article{arxiv.2210.11945,
title = {On the existence of Monge maps for the Gromov-Wasserstein problem},
author = {Théo Dumont and Théo Lacombe and François-Xavier Vialard},
journal= {arXiv preprint arXiv:2210.11945},
year = {2024}
}
备注
Foundations of Computational Mathematics, In press