由高斯映射流生成的质量输运

设 $A \subset \mathbb{R}^d$ ($d\ge 2$) 为一紧致凸集，$\mu = \varrho_0 dx$ 为 $A$ 上等价于勒贝格测度限制的概测度。设 $\nu = \varrho_1 dx$ 为 $B_r := \{x\colon |x| \le r\}$ 上等价于勒贝格测度限制的概测度。我们证明存在映射 $T$ 使得 $\nu = \mu \circ T^{-1}$ 且 $T = \phi \cdot {\rm n}$，其中 $\phi\colon A \to [0,r]$ 为具有凸下水平集的连续势函数，${\rm n}$ 为 $\phi$ 相应水平集的高斯映射。此外，$T$ 是可逆的且在本质上是唯一的。我们的证明采用了最优输运技术。我们表明，在 $\phi$ 光滑的情形下，$\phi$ 的水平集由高斯曲率流 $\dot{x}(s) = -s^{d-1} \frac{\varrho_1(s {\rm n})}{\varrho_0(x)} K(x) \cdot {\rm n}(x)$ 驱动，其中 $K$ 为高斯曲率。作为副产品，可以重新证明从凸超曲面出发的经典高斯曲率流弱解的存在性。