一维非局部速度流体力学模型的质量输运方法

我们考虑一个由 Hilbert 变换给出非局部速度的一维输运模型,并发展其概率测度解的全局适定性理论。同时分析了粘性情形与非粘性情形。无论在原始变量还是在自相似变量下,我们都将相应方程表示为关于包含奇异对数相互作用势的自由能泛函的梯度流。在没有任何小性条件下,在具有有限二阶矩的概率测度空间 $\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})$ 中,得到了解的存在性、唯一性、自相似渐近行为以及无粘极限。我们的结果基于 \cite{Ambrosio} 中发展的抽象梯度流理论。我们结果的一个重要副产品是:对于 $\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})$ 中的初值,存在唯一的(在不变和平移意义下)全局自相似解,这一结论此前已由 \textrm{\cite{Deslippe,Biler-Karch}} 通过不同方法获得。此外,该自相似解在自相似变量下吸引所有动力学。一维测度间输运的关键单调性性质允许我们证明奇异对数势能是位移凸的。我们还将结果推广到具有负幂律局部可积相互作用势的梯度流方程。