最优传输与Ricci曲率：区间上的Wasserstein空间

在本文中，我们讨论了测地测度空间上的最优传输概念以及相关的(2-)Wasserstein距离。然后，我们考察了概率测度空间上熵泛函的位移凸性。特别地，我们详细证明了Lott-Villani-Sturm的广义Ricci界概念与光滑流形上的经典概念相一致。我们还证明了广义Ricci界在Gromov-Hausdorff收敛下保持不变。特别地，我们详细考察了区间上概率测度的空间$P(X)$，其配备了Wasserstein度量$d^W$。我们证明该度量空间等距于Hilbert空间$L^2[0,1]$的一个全凸子集，这使得具体计算成为可能，与最优传输理论中的通常情况相反。我们显式证明了$(P(X),d^W)$的Alexandrov曲率为零，并给出了该空间上熵泛函的一个易于处理的表达式。此外，我们考察了该空间的有限维Gromov-Hausdorff逼近，并利用它们在极限空间上构造了一个测度，即Von Renesse和Sturm首先考虑的熵测度。我们考察了该测度的性质，特别解释了为什么可以期望它具有广义Ricci下界。然后我们证明这实际上是不成立的。我们还讨论了寻找确实允许广义Ricci下界的不同测度的可能性与后果。