全凸函数、$L^2$ 最优输运用于随机测度律以及单图问题的解

我们研究由希尔伯特空间 $\mathrm{H}$（可为有限或无限维）所产生的二次费用对应的 Kantorovich- Wasserstein 空间 $\mathcal{P}_2(\mathcal{P}_2(\mathrm{H}))$ 中的随机测度律的最优输运问题。尽管该费用不光滑、空间 $\mathcal{P}_2(\mathrm{H})$ 非希伯特，以及 underlying Wasserstein 度量引起的曲率失真，但我们将展示如何在 $\mathcal{P}_2(\mathcal{P}_2(\mathrm{H}))$ 中的随机测度层面恢复与 $\mathcal{P}_2(\mathrm{H})$ 中欧几里得最优输运问题与凸分析之间深刻且强大的联系。我们的做法依赖于全凸函数的概念，其总次梯度以及在希尔伯特空间中平方可积 $\mathrm{H}$ 值映射 $L^2(\mathrm{Q},\mathbb{M};\mathrm{H})$ 中的拉格朗日提升。借助这些工具，我们识别出 $\mathcal{P}_2(\mathcal{P}_2(\mathrm{H}))$ 中一个自然的正则测度类，其中单图问题的单一解存在，我们将表明该类包含由来自 $L^2(\mathrm{Q},\mathbb{M};\mathrm{H})$ 中非退化高斯测度的 push-forward 变换产生的在 $\mathcal{P}_2(\mathrm{H})$ 中具有满稠密度的相关测度样例。