关于 $(P_2 (...P_2(H)...), W_2 )$ 的 Brenier 定理及其关于适应性运输的应用

我们发展了迭代 Wasserstein 空间上的 Brenier 定理。对于一个可分离的 Hilbert 空间 $H$ 和 $N\geq 1$，我们构造了一个在 $P_2^{N}(H)= P_2(... P_2(H)...)$ 上具有全支撑概率分布 $\Lambda$，且具有传输正则性：对于每个二阶矩有限的 $Q$，将 $\Lambda$ 传输到 $Q$ 采用 $W_2^2$ 成本时，存在唯一的优化器，且该优化器为 Monge 类型。分析依赖于对 $P_2(H)$ 上最优耦合以及更一般情况下的 $P_2^{N}(H)$ 上的最优耦合通过 Lions lift 上的凸势函数进行刻画；在后者情况下，我们采用一种专为 $N$ 步结构量身定制的新的 lift。一个关键思想是最优传输 $c$-共轭（其中 $c$ 给定为最大协方差）与 lift 上的经典凸共轭之间的新的识别。我们的主要动机来自适应 Wasserstein 距离 $AW_2$：我们的结果为 $AW_2$ 首个 Brenier 定理，并通过 $L_2$-过程空间上的凸函数对 $AW_2^2$-最优耦合进行了刻画。