沃瑟斯坦空间上的最优弹道传输与Hopf-Lax公式

我们研究相空间 $M\times M^*$ 上如下“弹道”代价泛函的最优质量传输问题，$$b_T(v, x):=\inf\{\langle v, \gamma (0)\rangle +\int_0^TL(\gamma (t), {\dot \gamma}(t))\, dt, \gamma \in C^1([0, T), M), \gamma(T)=x\},$$ 其中 $M=\mathbb{R}^d$，$T>0$，$L:M\times M \to \mathbb{R}$ 是在两变量上联合凸的拉格朗日量。在初始与最终概率测度的适当条件下，我们利用 à la Bolza 凸对偶与 Monge-Kantorovich 理论将经典 Hopf-Lax 公式从状态空间提升至沃瑟斯坦空间。这使我们能将弹道代价的最优传输映射与由 $$c_T(x,y):=\inf\{\int_0^TL(\gamma(t), {\dot \gamma}(t))\, dt, \gamma\in C^1([0, T), M), \gamma(0)=x, \gamma(T)=y\}$$ 定义的 $M\times M$ 上固定端点代价相关联。我们还指出了与平均场博弈理论的联系。