Brenier最优质量传输的动态与随机传播

我们研究由Y. Brenier所考虑的使内积代价最优的质量传输如何沿给定拉格朗日量随时间传播。在确定性情形中，我们考虑在相空间$M^*\times M$上最大化与最小化如下“弹道”代价泛函的传输，$$b_T(v, x):=\inf\{\langle v, \gamma (0)\rangle +\int_0^TL(t, \gamma (t), {\dot \gamma}(t))\, dt; \gamma \in C^1([0, T), M); \gamma(T)=x\},$$其中$M=\mathbb{R}^d$，$T>0$，$L:M\times M \to \mathbb{R}$为适当的拉格朗日量。我们也考虑其随机对应：\begin{align*}\underline{B}_T^s(\mu,\nu):=\inf\left\{\mathbb{E}\left[\langle V,X_0\rangle +\int_0^T L(t, X,\beta(t,X))\,dt\right]; X\in \mathcal{A}, V\sim\mu,X_T\sim \nu\right\} \end{align*}其中$\mathcal{A}$为满足$dX=\beta_X(t,X)\,dt+ dW_t,$（对某个漂移$\beta_X(t,X)$）的随机过程集合，且$W_t$为$\sigma(X_s:0\le s\le t)$-布朗运动。尽管下卷积使我们易于获得代价最小化传输在Wasserstein空间上的Hopf-Lax公式，但对总代价最大化传输则不然，其实际为sup-inf问题。然而，在拉格朗日量$L$于相空间上联合凸的情形下，Bolza型对偶性——在确定性情形中熟知但在随机情形中新颖——将sup-inf问题转化为sup-sup形式。Hopf-Lax公式将最优弹道传输与Bernard-Buffoni和Fathi-Figalli在确定性情形、Mikami-Thieullen在随机情形下所研究的动态固定端点传输联系起来。我们也写出欧拉型表述并指出其与平均场博弈理论的联系。