泊松空间的 Wasserstein 几何与 Ricci 曲率下界

设 $\varUpsilon$ 为完备可分度量基空间上的构型空间，赋予泊松测度 $\pi$。我们从最优传输与 Ricci 下界的角度研究 $\varUpsilon$ 的几何。为此，我们在 $\mathscr{P}_{1}(\varUpsilon)$（具有有限一阶矩的 $\varUpsilon$ 上概率测度空间）上定义一种形式黎曼结构，并构造 $\mathscr{P}_{1}(\varUpsilon)$ 上的一个扩展距离 $\mathcal{W}$。在我们的设定中，距离 $\mathcal{W}$ 对应于 Wasserstein 距离的 Benamou--Brenier 变分公式。我们的主要技术工具是通过泊松空间上差分算子定义的非局部连续性方程。我们证明，相对熵定义域的闭包在赋予 $\mathcal{W}$ 时是一个完备测地空间。我们建立了关于具有合成 Ricci 曲率下界的度量测度空间上 Wasserstein 空间几何结果的若干非局部无限维类比。特别地，我们得到：(a) Ornstein--Uhlenbeck 半群是相对熵的梯度流；(b) 泊松空间在熵意义下的 Ricci 曲率下界为 $1$；(c) 距离 $\mathcal{W}$ 满足 HWI 不等式。