关于Wasserstein空间上度量投影算子的非扩张性

本文研究Wasserstein空间$(\mathcal{P}_p(\mathbf{R}^d),W_p)$上到特定闭且测地凸真子集的度量投影的性质。当$d=1$时，由于$(\mathcal{P}_2(\mathbf{R}),W_2)$等距同构于具有Hilbert结构的平坦空间，相应投影算子预期为非扩张的。我们给出基于内蕴分析的直接证明，该证明也蕴含高维某些特殊情况下的非扩张性。当$d>1$时，我们展示该性质在两种情形下失效：当$p>1$足够小或足够大时。最后，我们证明当$d\ge 2$且$p\in(1,+\infty)$任意时Wasserstein空间$(\mathcal{P}_p(\mathbf{R}^d),W_p)$的一些正曲率性质：我们表明Wasserstein空间处处非局部Busemann NPC空间，且处处不满足所谓的投影准则。作为前者的推论，它们具有非负的上Alexandrov曲率，其精确意义于此定义。我们的分析中，密度一致上界由给定常数限制的概率测度特定子集起特殊作用。