非正曲率、方差泛函与 Wasserstein 重心

本文将 Riemann 流形的非正截面曲率与 $M$ 上概率测度空间 $P(M)$ 上方差泛函的位移凸性联系起来。我们证明，$M$ 具有非正截面曲率且具有平凡拓扑（即同胚于 $\mathbf{R}^n$）当且仅当 $P(M)$ 上的方差泛函是位移凸的。随后给出了关于方差泛函相对于 Wasserstein 重心的 Jensen 型不等式，以及比较 $P(M)$ 上概率测度（即 $P(P(M))$ 的元素）的 Wasserstein 重心与线性重心方差的结果。这些结果被应用于等距群作用下的不变测度，给出了 Wasserstein 投影与到不变测度集合的 $L^2$ 投影之间方差泛函的比较。