非交换变量的迹光滑函数与自由 Wasserstein 流形

我们给出了 $\mathbb{R}^d$ 上 Wasserstein 流形（即 $\mathbb{R}^d$ 上光滑概率密度的形式黎曼流形）的自由概率类比，并用它来研究光滑非交换测度传输。自由 Wasserstein 流形 $\mathscr{W}(\mathbb{R}^{*d})$ 中的点是具有在 $\infty$ 处二次增长的光滑迹非交换函数 $V$，对应于经典情形中的负对数密度。此处所用的光滑迹非交换函数空间是一个新的空间，我们在文中给出了其定义与基本性质；它们是来自任意迹 von Neumann 代数的自伴 $d$ 元组的标量值函数，可由迹多项式逼近。非交换微分同胚空间 $\mathscr{D}(\mathbb{R}^{*d})$ 通过传输作用于 $\mathscr{W}(\mathbb{R}^{*d})$ 上，并且 $\mathscr{D}(\mathbb{R}^{*d})$ 的切向量与 $\mathscr{W}(\mathbb{R}^{*d})$ 的切向量之间的基本关系由与 $V$ 相关的 Laplacian $L_V$ 及其伪逆 $\Psi_V$（当定义时）描述。遵循 arXiv:1204.2182、arXiv:1701.00132 和 arXiv:1906.10051 在新设定下的类似论证，我们给出了当 $V$ 充分接近 $(1/2) \sum_j \operatorname{tr}(x_j^2)$ 时沿任意路径 $t \mapsto V_t$ 的光滑传输以及光滑三角传输存在的严格证明。