与退化双曲黎曼曲面相关的计数函数渐近行为

我们给出了有限体积退化双曲黎曼曲面族上谱测度的渐近展开。作为我们结果的应用，我们研究了加权计数函数的渐近行为：当 $M$ 为紧时，对 $w \geq 0$ 和 $T > 0$ 定义为 $$N_{M,w}(T) = \sum\limits_{\lambda_n \leq T}(T-\lambda_n)^w$$ 其中 $\{\lambda_n\}$ 是作用在 $M$ 上光滑函数空间上的拉普拉斯算子的特征值集合。若 $M$ 非紧，则加权计数函数通过逆拉普拉斯变换定义。现令 $M_{\ell}$ 表示一个收敛于非紧双曲曲面 $M_{0}$ 的有限体积紧或非紧双曲黎曼曲面的退化族。作为我们结果的一个例子，我们有如下定理：存在一个仅依赖于 $\ell$、$w$ 和 $T$ 的显式定义函数 $G_{\ell,w}(T)$，使得对 $w > 3/2$ 和 $T>0$，当 $\ell \to 0$ 时有 $$N_{M_{\ell},w}(T) = G_{\ell,w}(T) +N_{M_{0},w}(T) +o(1)$$。我们也考虑了 $w < 3/2$ 的情形，并得到了有限体积退化双曲黎曼曲面上小特征值连续性的一个新证明。