关于小尖点特征值数量的拓扑上界

设 $S$ 为类型 $(g, n)$ 的非紧有限面积双曲曲面。设 $\Delta_S$ 表示 $S$ 上的 Laplace 算子。当 $S$ 在类型 $(g, n)$ 的有限面积双曲曲面的 {\it 模空间} ${\mathcal{M}_{g, n}}$ 上变化时，我们借鉴 Lizhen Ji \cite{Ji} 和 Scott Wolpert \cite{Wo} 的方法，研究 $\Delta_S$ 的 {\it 小尖点特征对} 的行为。在定理 2 中，我们描述了当 $({S_m})$ 收敛到 $\overline{\mathcal{M}_{g, n}}$ 中的一点时，这些特征对在曲面 ${S_m} \in {\mathcal{M}_{g, n}}$ 上的极限行为。接着我们考虑 $S \in {\mathcal{M}_{g, n}}$ 的第 $i$ 个 {\it 尖点特征值} ${\lambda^c_i}(S)$。由于 {\it 非尖点} 特征函数（{\it 剩余特征函数} 或 {\it 广义特征函数}）可能会收敛到尖点特征函数，目前尚不清楚 ${\lambda^c_i}(S)$ 是否为连续函数。然而，应用定理 2，我们证明了对于所有 $k \geq 2g-2$，集合 $${{\mathcal{C}_{g, n}^{\frac{1}{4}}}}(k)= \{ S \in {\mathcal{M}_{g, n}}: {\lambda_k^c}(S) > \frac{1}{4} \}$$ 是开集，并且在 $\overline{\mathcal{M}_{g, n}}$ 中包含 ${\cup_{i=1}^n}{\mathcal{M}_{0, 3}} \cup {\mathcal{M}_{g-1, 2}}$ 的邻域。此外，利用 \cite{O} 中关于 {\it 小特征函数} 节点集的拓扑性质，我们表明 ${{\mathcal{C}_{g, n}^{\frac{1}{4}}}}(2g-1)$ 在 $\overline{\mathcal{M}_{g, n}}$ 中包含 ${\mathcal{M}_{0, n+1}} \cup {\mathcal{M}_{g, 1}}$ 的邻域。这些结果为支持 Otal-Rosas \cite{O-R} 的猜想提供了证据。