关于 $S^2$ 上 $S^1$-不变度量的不变谱

J. Hersch（1970）的一个定理指出，对于 $S^2$ 上总面积等于 $4\pi$ 的任意光滑度量，作用在函数上的 Laplace 算子的第一个非零特征值小于或等于 2（标准 round 度量时取该值）。对于在标准 $S^1$-作用下的不变度量，可将 Laplace 算子限制在 $S^1$-不变函数子空间上并考虑其上的谱。相应的特征值将称为不变特征值，本文旨在分析其可能取值。我们首先通过给出总面积 $4\pi$ 的显式 $S^1$-不变度量族，其中第一个不变特征值可取 0 到 $\infty$ 之间的任意值，表明不存在 Hersch 定理的一般类比。随后我们限制于可嵌入 ${\bf R}^3$ 作为旋转曲面的 $S^1$-不变度量。对于这一子类，我们能为所有不变特征值给出最优上界。作为推论，我们得到了 Hersch 定理的一个类比，带有最优上界（大于 2 且在几何上有趣）。$S^2$ 上的这一度量子类包含所有具有非负 Gauss 曲率的 $S^1$-不变度量。这些结果证明中的关键思想之一来自辛几何，即利用 $S^1$-作用的矩映射作为 $S^2$ 上的坐标函数。