圆形扇区上 Laplace 特征值问题的等几何分析：正则性性质、分级网格与变分缺陷

圆形扇区上的 Laplace 特征值问题具有带有角点奇异性特征函数。标准方法可能会产生次优的近似结果。为解决这一问题，本文提出了一种增强标准等几何分析的新型数值算法，该算法采用单片分级网格细化方案。数值测试表明，特征值和特征函数均达到了最优收敛率。此外，结果表明，对于 Laplace 谱的低阶部分，光滑样条比其 $C^0$ 连续对应物具有更优的近似常数。这是将此前关于矩形域上光滑样条具有优异谱近似性质的发现扩展到了圆形扇区。此外，分级网格被证明对于少量特征值的精确近似特别有利。此处应用的新型算法存在一个缺点，即等几何参数化的奇异性。这导致某些基函数不属于相应弱问题的解空间，这被视为一种变分缺陷 (variational crime)。然而，该方法被证明是鲁棒的。最后，提出了一种分层网格结构，以避免各向异性单元，省略冗余自由度，并使导致变分缺陷的基函数数量保持恒定，而不依赖于网格尺寸。数值结果验证了分层网格分级在模拟具有和不具有角点奇异性的特征函数方面的有效性。