Two-dimensional hierarchical B-spline de Rham complex exact refinements construction

de Rham 复合体在研究电磁学和流体力学问题时自然出现。使用离散 de Rham 复合体可获得稳定的数值方法，这些方法保留了连续复合体的结构。当离散函数空间为层次 B 样条时，这一属性可能无法保证，研究表明，任意选择细化域可能导致虚假调和场，从而破坏解的精度。我们聚焦于单位正方形 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ 上的二维 de Rham 复合体，提供理论结果和构造算法，以确保复合体结构被保留：当一对函数发生冲突时，另外一些形成该对之间 L 链的函数也会被细化。层次化设置中的另一个关键方面是可接受性概念，因为通过限制基函数的多层相互作用，可以获得数值解的最优收敛率和改进的稳定性。我们展示，在某种常见限制下，离散复合体第一空间的可接受性类别在剩余空间中持续存在。因此，可接受的细化可以与我们的新算法结合，以获得同时遵守 de Rham 复合体结构的可接受网格。此外，我们详细说明了该算法如何容易地纳入标准自适应网格细化方案。最后，我们包括用于向量拉普拉斯和 Maxwell 本征值问题的数值结果，以动机对此前关切的重要性。