Deligne-Illusie 定理的一些改进

我们以多种方式推广了 Deligne 与 Illusie 关于模 $p^2$ 提升与 de Rham 复形分解的结果。我们证明,对于特征 $p>0$ 的完美域 $k$ 上的光滑概型 $X$,de Rham 复形在 $\max(p-1, 2)$ 个连续次数上的截断可表示为导出范畴中的对象,由其在至多一次数上的截断(或等价地,由模 $p^2$ 提升的阻碍类)重构。因此,若 $X$ 可提升至 $W_2(k)$,这些截断是可分解的,此时共轭谱序列中第一个非零微分不早于第 $\max(p,3)$ 页出现(这些推论近期已被 Drinfeld、Bhatt-Lurie 与 Li-Mondal 加强)。在不假设存在提升的情况下,我们描述了两项截断的分裂 gerbe 与共轭谱序列第二页上的微分,回答了 Katz 的一个问题。在 $p>2$ 情形中使用的主要技术结果纯属同调代数,涉及某些上同调代数为外代数的交换微分分次代数,我们称之为“抽象 Koszul 复形”,特征 $p$ 下的 de Rham 复形即为一例。在附录中,我们利用上述更强的分解结果证明,Kodaira-Akizuki-Nakano 消没与 Hodge-de Rham 退化对 $F$-split $(p+1)$-fold 均成立。