de Rham 复形的不可分解性与 Sen 算子的非半单性

我们描述了在特征为 $p$ 的完美域 $k$ 上、可提升到 $W_2(k)$ 的光滑簇的 de Rham 复形在次数 $\leq p$ 时分解的障碍，并证明存在维数为 $p+1$ 的可提升光滑射影簇，其 Hodge-to-de Rham 谱序列不在第一页退化。我们还描述了 Sen 算子在次数 $\leq p$ 的 de Rham 复形上的作用，并给出具有非半单 Sen 算子的簇的例子。我们的方法依赖于 de Rham 与 Hodge-Tate 上同调上的交换代数结构，并受 cosimplicial 交换代数上同调上 Steenrod 运算性质的启发。非退化的 Hodge-to-de Rham 谱序列的例子依赖于 Lie 型群上同调的一个非零结果。我们给出对其他情形的应用，例如描述具有群作用的阿贝尔簇的 de Rham、Hodge 与 étale 上同调的正则滤子上的扩张。我们还证明，$k$ 上光滑簇的 de Rham 复形作为 $E_{\infty}$-代数是形式的，当且仅当该簇连同其 Frobenius 自同态一起提升到 $W_2(k)$。