横截测度、模块类及 Lie 伴随算子上的协同配对

我们表明每个 Lie 伴随算子 $A$ 在流形 $P$ 上都有一个关于线丛 $Q_A = \wedge^{top}A \otimes \wedge^{top} T^*P$ 的自然表示。线丛 $Q_A$ 可视为 Lie 伴随算子在拓扑学中的方向束类似物，$Q_A$ 的截面可视为 $A$ 的横截测度。作为结果，在 $A$ 的第一 Lie 伴随同调 $H^1(A)$ 中存在一个称为 Lie 伴随算子 $A$ 的模块类的同构类。这与 Weinstein 先前使用 $A^*$ 上的 Poisson 结构引入的模块类相同。我们表明 $A$ 的 Lie 伴随同调空间（带有平凡系数）与带有系数 $Q_A$ 的同调空间之间存在自然配对。这扩展了有限维 Lie 代数同调中用于 Poincare 偶极的配对。也讨论了全纯 Lie 伴随算子的情况，其中模块类的存在性与线丛 $Q_A$ 的 Chern 类相关。