de Rham 上同调的本质

研究闭但非恰当的微分形式揭示了关于流形全局拓扑的重要信息，这些信息由 de Rham 上同调群 $H^k(M)$ 编码，以 Georges de Rham（1903-1990）命名。这篇阐释性论文对 de Rham 上同调及其与奇异上同调的等价性进行了说明和探讨。我们给出了 de Rham 上同调的直观介绍，并讨论了四个相关的计算工具：Mayer-Vietoris 定理、同伦不变性、Poincaré 对偶和 Künneth 公式。我们以 de Rham 定理的陈述和证明作为结论，该定理断言 de Rham 上同调与奇异上同调等价。