Loewy 滤过与量子除幂代数上的量子 de Rham 上同调

本文探讨了 \cite{HU} 中定义的量子除幂代数 $\mathcal{A}_q(n)$ 及其截断对象 $\mathcal{A}_q(n, \bold m)$ 的不可分解子模结构。建立了一种“交织提升”方法，用于在模的基座非单时证明其不可分解性。描述了所有齐次子空间 $\mathcal{A}^{(s)}_q(n)$ 或 $\mathcal{A}_q^{(s)}(n, \bold m)$ 的 Loewy 滤过，并确定了 Loewy 层及其维数。证明了这些不可分解模的刚性。从我们针对一类不可分解 $\mathfrak{u}_q(\mathfrak{sl}_n)$-模的实现模型中导出了一个有趣的组合恒等式。同时，通过定义适当的 $q$-微分，构造了 $\mathcal{A}_q(n)$ 上的量子 Grassmann 代数 $\Omega_q(n)$ 以及量子 de Rham 复合体 $(\Omega_q(n), d^\bullet)$，及其子复合体 $(\Omega_q(n,\bold m), d^\bullet)$。对于后者，相应的量子 de Rham 上同调模被分解为一些符号平凡 $\mathfrak{u}_q(\mathfrak{sl}_n)$-模的直和。