等几何分析中最优求积规则的机器学习发现

我们提出使用机器学习技术来寻找等几何分析（IGA）中构造刚度和质量矩阵的最优求积规则。我们首先考虑跨均匀与非均匀节点序列的任意次数一维样条空间，随后通过张量积方式将所生成的最优规则用于高维空间的积分。求积规则搜索被表述为一个优化问题，并通过基于梯度下降的机器学习策略求解。然而，由于优化空间高度非凸，搜索的成功强烈依赖于求积点数量与参数初始化。因此，我们采用动态规划策略，从具有较少节点数的样条空间上的最优解初始化参数。利用该方法，我们找到了使用多达50个均匀单元、多项式次数高达8的IGA离散化时样条空间的最优求积规则，展示了该方法在此场景下的通用性。对于非均匀划分，该方法也在合理数量的测试用例中找到了最优规则。我们还在两个实际案例研究中评估了所生成的最优规则，即拉普拉斯算子的特征值问题与自由曲面曲梁的固有频率分析，其中后者展示了该方法在曲几何上的适用性。特别地，所提方法相对于传统高斯积分在1D、2D和3D空间中分别实现了高达44%、68%和82%的节省。