一种用于等几何分析下 PDE 约束优化的低秩张量方法

等几何分析（IGA）因工业和科学中采用 NURBS 进行几何表示，已成为偏微分方程离散化最流行的方法之一。一个关键挑战在于离散化方程的求解，我们在本报告中对使用 IGA 离散化的 PDE 约束优化问题予以特别讨论。离散化产生大规模质量矩阵和刚度矩阵系统，其组装通常代价高昂。为减少计算时间与存储需求，低秩张量方法已成为一种有前景的工具。我们提出一个以低秩形式组装这些矩阵的框架，将其表示为少量 Kronecker 乘积之和。仅需要单变量积分即可组装较小的矩阵。所得质量矩阵与刚度矩阵的低秩 Kronecker 乘积结构可用于求解 PDE 约束优化问题，而无需组装实际的系统矩阵。我们提出一个框架，对矩阵与解均保持并利用低秩 Kronecker 乘积格式。我们使用块 AMEn 方法高效求解该优化问题对应的 KKT 系统。我们展示了若干三维几何的数值实验，表明低秩组装与求解依区域的近似秩显著降低了内存需求与计算时间。