曲面上Laplace特征值的等周不等式的稳定性

我们证明了曲面上第一与第二非零Laplace特征值的等周不等式在全局及固定共形类中的稳定性估计。我们采用测度的特征值概念，并表明若归一化特征值接近其极大值，则相应测度在Sobolev空间$W^{-1,2}$中必须接近极大测度集。特别地，这蕴含一个定性稳定性结果：几乎极大化归一化特征值的度量必在$W^{-1,2}$中接近某个极大度量。遵循此方法，我们证明了球面上第一特征值的著名Hersch不等式及其第二特征值对应情形的尖锐定量稳定性。对于射影平面、环面与Klein瓶上的精确等周特征值不等式也获得了类似结果。这些稳定性估计中到极大测度的$W^{-1,2}$距离的平方由归一化特征值与其极大值的差所控制，表明极大值在某种意义下是非退化的。我们构造例子说明距离的幂无法改进，并且Sobolev空间$W^{-1,2}$的选择是最优的。