平板上的等周不等式及其在立方体和高斯平板中的应用

我们研究了“平板”上的等周不等式，即作为有限长度区间上的均匀测度与余维数为 1 的底的乘积而获得的加权黎曼流形。作为我们的两个主要应用，我们考虑了底为平坦环面 $\mathbb{R}^2 / 2 \mathbb{Z}^2$ 和 $\mathbb{R}^{n-1}$ 中的标准高斯测度的情况。三维立方体上的等周猜想预测，极小值由围绕角的球体、围绕边的圆柱体和坐标平面所围成。这仅通过紧性论证在相对体积接近 $0$、$1/2$ 和 $1$ 时得到证实。我们的分析在相对体积 $\bar v \in [0,1/2]$ 的新范围内证实了边长为 $(\beta,1,1)$ 的三维立方体上的等周猜想。特别是，对于所有 $\bar v \leq 0.120582$，我们证实了标准立方体 ($\beta=1$) 的猜想；当 $\beta \leq 0.919431$ 时，在球体被猜想为极小值的整个范围内，以及对于所有 $\bar v \in [0,1/2] \setminus (\frac{1}{\pi} - \frac{\beta}{4},\frac{1}{\pi} + \frac{\beta}{4})$，我们也证实了该猜想。当 $\beta \leq 0.919431$ 时，我们将完整猜想的有效性归约为证明半平面 $\{ x \in [0,\beta] \times [0,1]^2 \; ; \; x_3 \leq \frac{1}{\pi} \}$ 是等周极小值。我们还表明，高维立方体 $[0,1]^n$ 上的类似猜想在 $n \geq 10$ 时是错误的。在具有宽度 $T>0$ 的高斯底的平板情况下，我们确定了当 $T = \sqrt{2 \pi}$ 和 $T = \pi$ 时的相变。特别是，虽然半平面与 $[0,T]$ 的乘积在 $T \leq \sqrt{2 \pi}$ 时总是极小值，但当 $T > \pi$ 时它们永远不是极小值，而被高斯悬链面 (unduloids) 所超越。在 $T \in (\sqrt{2 \pi},\pi]$ 范围内，可能会出现潜在的三分法。