$\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{S}^n$ 上等周气泡的结构

1990 年代提出的 $n$ 维欧几里得空间与球面空间中的多气泡等周猜想断言：对于任意 $q \leq n+2$，在所有包围给定体积的 $q-1$ 个气泡中，标准气泡唯一地最小化总周长。$\mathbb{R}^3$ 上的双气泡猜想已于 2000 年由 Hutchings-Morgan-Ritoré-Ros 证实，如今对所有 $n \geq 2$ 均已完全解决。$\mathbb{S}^2$ 上的双气泡猜想与 $\mathbb{R}^2$ 上的三气泡猜想亦已解决，但其余情形总体上仍属开放。我们证实了 $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{S}^n$ 上对所有 $q \leq \min(5,n+1)$ 的猜想，即：$n \geq 2$ 时的双气泡猜想、$n \geq 3$ 时的三气泡猜想以及 $n \geq 4$ 时的四气泡猜想。事实上，我们证明了对所有 $q \leq n+1$，极小簇必然具有球面界面，且在经球极投影到 $\mathbb{S}^n$ 后，其胞腔由 $q$ 个仿射函数的 Voronoi 胞腔给出，或者等价地，作为 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中凸多面体与 $\mathbb{S}^n$ 的交。此外，这些胞腔（包括无界胞腔）必然连通且交于一个公共的对称超平面，从而解决了 Heppes 的一个猜想。我们还证明了对所有 $q \leq n+1$，在所有胞腔对之间均具有非空界面的极小元必然是标准气泡。证明关键性地同时考察了 $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{S}^n$，并运用了 Möbius 几何与保形 Killing 场；它不依赖于如高斯情形中那样为等周剖面建立 PDI，而后者在当前情形下似乎难以企及。