高斯测度对数凹扰动的等周集与稳定集

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的开半空间或板状区域，赋予形式为 $f(p):=\exp(\omega(p)-c|p|^2)$ 的高斯测度扰动，其中 $c>0$，$\omega$ 是仅依赖于平行于 $\partial\Omega$ 的线性超平面的有符号距离的光滑凹函数。在本工作中，我们采用变分法证明，在 $\Omega$ 中，垂直于 $\partial\Omega$ 的半空间在包围相同加权体积的集合中唯一地最小化加权周长。证明的主要要素是将平行或垂直于 $\partial\Omega$ 的半空间刻画为具有小奇异集和零加权容量的唯一稳定集。我们的方法也适用于 $\Omega=\mathbb{R}^{n+1}$，从而特别产生了高斯空间中稳定集的分类以及高斯等周不等式的新证明。最后，我们利用最优输运研究当扰动项 $\omega$ 为凹函数且可能非光滑时的加权最小化子。