粗糙开集上有界散度测度场的迹与延拓

我们证明,开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 可从内部由具有一致有界周长的光滑集逼近,当且仅当该开集 $\Omega$ 满足 \begin{align*} &\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \mathscr{H}^{n-1}(\partial \Omega \setminus \Omega^0)<\infty, \qquad &&\quad\qquad\qquad \qquad\qquad (*) \end{align*} 其中 $\Omega^0$ 是 $\Omega$ 的测度论外集。进一步,我们表明条件 (*) 蕴含开集 $\Omega$ 是有界散度测度场的延拓域,这改进了先前要求强条件 $\mathscr{H}^{n-1}(\partial \Omega)<\infty$ 的结果。作为应用,我们在任意满足条件 (*) 的开集 $\Omega$ 上对有界散度测度场建立了可达边界的 Gauss-Green 公式,其相应法向迹被证明是集中在 $\partial \Omega \setminus \Omega^0$ 上的有界函数。这一新公式不要求积分集紧含于向量场定义的区域之中。此外,我们还分析了粗糙域上具指定边界迹的散度方程的可解性,以及有界 $BV$ 函数的延拓域。