关于有限周长集的光滑内部逼近

本文中，我们证明对于任意有界有限周长集 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$，我们可以选择光滑集 $E_k \Subset \Omega$ 使得 $E_k \rightarrow \Omega$ 于 $L^1$ 中且 \begin{align} \label{moregeneralapproximation} \limsup_{i \rightarrow \infty} P(E_i) \le P(\Omega)+C_1(n) \mathscr{H}^{n-1}(\partial \Omega \cap \Omega^1). \end{align} 上式中 $\Omega^1$ 为 $\Omega$ 的测度论内部，$P(\cdot)$ 表示集上的周长泛函，$C_1(n)$ 为维数常数。反之，我们证明对于任意满足 $E_k \Subset \Omega$ 且 $E_k \rightarrow \Omega$ 于 $L^1$ 中的集 $E_k$，存在维数常数 $C_2(n)$ 使得如下不等式成立：\begin{align} \label{gap} \liminf_{k \rightarrow \infty} P(E_k) \ge P(\Omega)+ C_2(n) \mathscr{H}^{n-1}(\partial \Omega \cap \Omega^1). \end{align} 特别地，这些结果蕴含对于有界有限周长集 $\Omega$，\begin{align} \label{char*} \mathscr{H}^{n-1}(\partial \Omega \cap \Omega^1)=0 \end{align} 成立当且仅当存在光滑集列 $E_k$ 使得 $E_k \Subset \Omega$，$E_k \rightarrow \Omega$ 于 $L^1$ 中且 $P(E_k) \rightarrow P(\Omega)$。