尖锐 $L^1$ Poincaré 不等式对应于最优超曲面切割

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 为凸集。若 $u: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 均值为 0，则我们有经典的 Poincaré 不等式 $$\|u \|_{L^p} \leq c_p \mbox{diam}(\Omega) \| \nabla u \|_{L^p}$$ 其中尖锐常数 $c_2 = 1/\pi$ (Payne \& Weinberger, 1960) 和 $c_1 = 1/2$ (Acosta \& Duran, 2005) 与维度无关。Ferone, Nitsch \& Trombetti (2012) 最近找到了 $1 < p < 2$ 的尖锐常数 $c_p$。这篇短文旨在证明端点 $L^1$ 中一个更强的不等式：我们结合 Cianchi 以及 Kannan, Lovász \& Simonovits 的结果，表明 $$\left\|u\right\|_{L^{1}(\Omega)} \leq \frac{2}{\log{2}} M_{}(\Omega) \left\|\nabla u\right\|_{L^{1}(\Omega)}$$ 其中 $M_{}(\Omega)$ 是 $\Omega$ 中一点到 $\Omega$ 重心的平均距离。若 $\Omega$ 为单形，这在 $n$ 维中产生了约 $\sqrt{n}$ 倍的改进。通过插值，这意味着对于每个凸集 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 和每个均值为 0 的 $u:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$，有 $$\left\|u\right\|_{L^{p}(\Omega)}\leq \left(\frac{2}{\log{2}} M_{}(\Omega) \right)^{\frac{1}{p}}\mbox{diam}(\Omega)^{1-\frac{1}{p}}\left\|\nabla u\right\|_{L^{p}(\Omega)}.$$