穿孔域上的Poincare不等式

经典的 Poincare 不等式在有界域 $\Omega \subset \R^n$ 中用其梯度在 $\Omega$ 中的某个 $L^p$ 范数界定函数 $f$ 的 $L^q$ 范数。我们从两方面推广此结论：在第一种推广中，我们从 $\Omega$ 中去掉一个集合 $\Gamma$ 并将注意力集中于 $\Lambda = \Omega \setminus \Gamma$。这个新域甚至可能不连通，因此一般无法对其成立 Poincare 不等式，或者即便成立也可能有极差的常数——即使 $\Gamma$ 的体积任意小也是如此。然而，若附加假设 $f$ 在整个 $\Omega$ 上具有有限的 $L^p$ 梯度范数（而不仅在 $\Lambda$ 上），则 Poincare 不等式确实成立。关键在于，由此得到的 Poincare 不等式用 $\Lambda$（而非 $\Omega$）上的 $L^p$ 梯度范数加上一个随 $\Gamma$ 体积趋于零而趋于零的附加项来界定 $f$ 的 $L^q$ 范数。该误差项仅通过体积依赖于 $\Gamma$。除这一加性误差项外，不等式中的常数仍保持“良好”域 $\Omega$ 的常数。在第二种推广中，给定向量场 $A$ 并将 $\nabla$ 替换为 $\nabla +i A(x)$（几何上，U(1) 丛上的一个联络）。与 A=0 的情形不同，对所有具有给定 $\|f\|_q$ 的 $f$，$\|(\nabla +i A)f\|_p$ 的下确界一般不为零。这允许通过添加一个我们导出其精确值的项来改进该不等式。我们描述了由这些推广产生的一些开放问题。