从仿射 Poincaré 不等式到仿射谱不等式

给定 $\mathbb R^n$ 中有界开子集 $\Omega$，我们建立了仿射球 $B^{\mathcal A}_p(\Omega) = \{f \in W^{1,p}_0(\Omega):\ \mathcal E_p f \leq 1\}$ 关于 Lutwak、Yang 和 Zhang 在 [43] 中引入的仿射泛函 $\mathcal E_pf$ 的弱闭包，以及其在 $L^p(\Omega)$ 中对任意 $p \geq 1$ 的紧性。这些要点强烈依赖于著名的 Blaschke-Santal\'{o} 不等式。作为对应，我们发展了有界域中仿射情形下的 $p$-瑞利商基本理论，对 $p\geq 1$。更具体地，我们建立了 Poincaré 不等式的 $p$-仿射版本及其一些推论。我们引入仿射不变 $p$-拉普拉斯算子 $\Delta_p^{\mathcal A} f$，它定义了 $p$-仿射瑞利商极小化问题的欧拉-拉格朗日方程。我们还研究了其第一特征值 $\lambda^{\mathcal A}_{1,p}(\Omega)$，它满足相应的仿射 Faber-Krahn 不等式，即 $\lambda^{\mathcal A}_{1,p}(\Omega)$ 仅在 $\Omega$ 为椭球时（在等体积集合中）取最小。这一点根本上依赖于针对算子 $\Delta_p^{\mathcal A} f$ 的偏微分方程正则性分析。我们还给出了仿射与经典特征值之间的一些比较，包括通过 $p \geq 1$ 时等号情形的刻画得到的刚性结果。所有获得的仿射不等式都更强并直接推出经典不等式。