涉及次临界与临界非线性的仿射 $p$-Laplace 方程的最小能量解

本文研究涉及仿射 $p$-Laplace 非局部算子 $\Delta_p^{\cal A}$ 的 Lane-Emden 和 Brezis-Nirenberg 问题，该算子由 Lutwak、Yang 和 Zhang \cite{LYZ2} 从凸几何中提出的仿射 $L^p$ 能量 ${\cal E}_{p,\Omega}$ 所驱动，并在 \cite{HJM5} 中引入。我们特别关注最小能量型正 $C^1$ 解的存在性与不存在性。主要困难部分源于 ${\cal E}_{p,\Omega}$ 缺乏凸性，以及不等式 ${\cal E}_{p,\Omega}(u) \leq \Vert u \Vert_{W^{1,p}_0(\Omega)}$ 通常为严格不等式。