带势的 $\mathcal{A}$-拉普拉斯方程的正解

本文中，我们研究拟线性椭圆方程 $$Q'_{p,\mathcal{A},V}[u]\triangleq-\mathrm{div}{\mathcal{A}(x,\nabla u)}+V(x)|u|^{p-2}u=0,$$ 在区域 $\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$ 中的正解，其中 $n\geq 2$，$1<p<\infty$，$\mathcal{A}$ 的散度是 Heinonen、Kilpel\"{a}inen 和 Martio 颇具影响的著作中所考虑的著名的 $\mathcal{A}$-拉普拉斯算子，且势 $V$ 属于某一局部 Morrey 空间。本文的主要目标是将临界性理论推广到算子 $Q'_{p,\mathcal{A},V}$。特别地，我们证明了一个 Agmon-Allegretto-Piepenbrink (AAP) 型定理，建立了 $Q'_{p,\mathcal{A},V}$ 在子区域 $\omega\Subset\Omega$ 中主特征值的唯一性与单纯性，并给出了临界性的各种刻画。此外，我们还研究了方程 $Q'_{p,\mathcal{A},V}[u]=0$ 在 $\Omega$ 中无穷远处极小增长的正解、极小正 Green 函数的存在性，以及 Hardy 权在无穷远处的极小衰减。