含 (p,A)-Laplacian 的半线性方程的临界性理论

我们研究如下形式的半线性二阶椭圆方程的正解：$$Q_{A,V}(u):= -\mathrm{div} (|\nabla u|_{A}^{p-2}A(x)\nabla u)+ V(x)|u|^{p-2}u=0 \quad \mbox{in }\Omega,$$ 其中 $1<p<\infty$，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的区域，$n\geq 2$，$V\in L_{\mathrm{loc}}^{\infty}(\Omega)$，$A=\big(a_{ij}\big)\in L_{\mathrm{loc}}^{\infty}(\Omega,\mathbb{R}^{n^2})$ 是 $\Omega$ 中对称且局部一致正定的矩阵，且 $$|\xi|_{A}^{2}:=\left\langle A(x)\xi,\xi\right\rangle=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x)\xi_i\xi_j \qquad x\in \Omega, \xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)\in\mathbb{R}^n.$$ 我们将已为线性算子和涉及 $p$-Laplacian 的半线性算子建立的临界性理论推广至算子 $Q_{A,V}$。我们证明了 Liouville 型定理，研究了方程 $Q_{A,V}(u)=0$ 的正解在孤立奇点附近及 $\Omega$ 中无穷远处的行为，并获得了一些扰动结果。