四维双调和 Lane-Emden 问题中最少能量节点解的渐近行为

本文研究了如下四阶椭圆问题的最少能量节点解 $u_p(x)$ 的渐近行为：$$\begin{cases} \Delta^2 u =|u|^{p-1}u \quad &\hbox{in}\;\Omega, \\ u=\frac{\partial u}{\partial \nu}=0 \ \ &\hbox{on}\;\partial\Omega, \end{cases}$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^4$ 中的有界 $C^{4,\alpha}$ 区域且 $p>1$。除其他结果外，我们证明了存在 $p\to+\infty$ 的子列使得 $pu_p(x)\to 64\pi^2\sqrt{e}(G(x,x^+)-G(x,x^-))$，其中 $x^+\neq x^-\in \Omega$ 且 $G(x,y)$ 是 $\Delta^2$ 的相应 Green 函数。这将 (Grossi-Grumiau-Pacella, Ann.I.H.Poincar\'{e}-AN, 30 (2013), 121-140) 关于二维 $-\Delta u=|u|^{p-1}u$ 的结果推广到双调和情形，并且在不假设其可比较条件 $p(\|u_p^+\|_{\infty}-\|u_p^-\|_{\infty})=O(1)$ 的情况下给出了 Grossi-Grumiau-Pacella 结果的另一种证明。