Lane-Emden系统与1-双拉普拉斯方程之间的渐近关系

考虑具有Dirichlet边界条件的Lane-Emden系统：$$-\Delta U = |V|^{\beta-1}V,\ -\Delta V = |U|^{\alpha-1}U \text{ in }\Omega,\qquad U=V= 0 \text{ on }\partial \Omega,$$ 在有界区域$\Omega$中，对于次临界$(\alpha,\beta)$。我们研究当$\beta\to \infty$时最小能量解的渐近行为，对于任意固定的$\alpha$（在$N\geq 3$时小于$2/(N-2)$）。我们证明这些解收敛到涉及1-双拉普拉斯算子的半线性方程的最小能量解，建立了这些对象之间的新关系。作为推论，我们推导了$p$-双拉普拉斯Lane-Emden方程的解在非线性项趋于无穷时的渐近行为。证明依赖于反演约化方法和非光滑分析工具，考虑一个辅助非线性特征值问题。我们用格林函数刻画其特征值，并证明Faber-Krahn型结果。在球域情况下，我们可以显式刻画特征值以及系统的最小能量解在$\beta\to\infty$时的极限轮廓。