最优域中的 Cheeger 不等式

本文考虑尺度不变的形状泛函 $$\mathcal{F}_{p,q}(\Omega)=\frac{\lambda_p^{1/p}(\Omega)}{\lambda_q^{1/q}(\Omega)}$$，其中 $1\le q<p\le+\infty$，且 $\lambda_p(\Omega)$（分别为 $\lambda_q(\Omega)$）为满足 Dirichlet 边界条件的 $p$-Laplacian（分别为 $-\Delta_q$）的第一个特征值。我们研究 $\mathcal{F}_{p,q}$ 的最大化与最小化问题，证明在 ${\mathbb{R}}^d$ 中存在最优域，并给出一些定性性质。令人惊讶的是，考虑受限于有界盒子 $D$ 的约束问题 $$\max\Big\{\lambda_q(\Omega)\ :\ \Omega\subset D,\ \lambda_p(\Omega)=1\Big\}$$ 具有不同的性质，本文通过分析最优电容测度来证明该问题存在解。在最后一节我们列出了一些我们认为值得调查的有趣问题。