扭转函数与 Cheeger 问题：一种分数阶方法

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$（$N\geq2$）中的 Lipschitz 有界域。分数阶 Cheeger 常数 $h_s (\Omega)$（$0<s<1$）定义为 $$h_s(\Omega)=\inf_{E\subset{\Omega}}\frac{P_s(E)}{|E|},\: \text{ 其中 } \: P_s (E)=\int_{\mathbb{R}^N }\int_{\mathbb{R}^N }\frac{|\chi_{E}(x)-\chi_{E}(y)|}{|x-y|^{N+s}} dx dy,$$ 其中 $\chi_{E}$ 表示光滑子域 $E$ 的特征函数。本文主要目的是证明 $$\lim_{p\rightarrow1^+}\left|\phi_p^s\right|_{L^{\infty}(\Omega)}^{1-p}=h_s (\Omega)=\lim_{p\rightarrow1^+}\left|\phi_p^s\right|_{L^1(\Omega)}^{1-p},$$ 其中 $\phi_p^s$ 为 $\Omega$ 的分数阶 $(s,p)$-扭转函数，即分数阶 $p$-拉普拉斯算子的 Dirichlet 问题解：$-(\Delta)_p^s\,u=1$ 于 $\Omega$ 中，$u=0$ 于 $\mathbb{R}^N \setminus\Omega$ 中。为此，我们推导分数阶 $p$-拉普拉斯算子在 $\Omega$ 上第一特征值 $\lambda_{1,p}^s(\Omega)$ 关于 $\phi_p^s$ 的合适界。我们还证明，在按 $L^1$-范数归一化的函数中，$\phi_p^s$ 极小化 $\mathbb{R}^N$ 上的 $(s,p)$-Gagliardo 半范数。