凸域上$p$-扭转刚度的比较结果

对于每个开、有界且凸的区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^{D},$ $D\geq 2$，以及每个实数 $p>1$，我们用 $u_{p}$ 表示 $\Omega$ 上的 $p$\emph{-扭转函数}，即 \emph{扭转蠕变问题} $\Delta_{p}u=-1$ 在 $\Omega$ 内，$u=0$ 在 $\partial \Omega$ 上的解，其中 $\Delta _{p}u:=\operatorname{div}( \left\vert \nabla u\right\vert ^{p-2}\nabla u)$ 是 $p$-拉普拉斯算子。设 $T_p(\Omega)$ 为 $\Omega$ 上的 $p$\emph{-扭转刚度}，定义为 $T_{p}\left( \Omega \right) :=\int_{\Omega }u_{p}dx$。定义 $T\left( p;\Omega \right) :=\left\vert \Omega \right\vert ^{p-1}T_{p}\left( \Omega \right) ^{1-p}$，其中 $|\Omega|$ 表示 $\Omega$ 的勒贝格测度。本文的主要目的是比较具有不同内半径的有界凸域上 $T(p;\Omega)$ 的值。我们证明，对于任意 $0<a<b$，存在一个常数 $\gamma_{D,p}\in[1/D,1)$，仅依赖于维数 $D$ 和参数 $p$，使得对于所有 $\Omega_a\in\PP^D(a)$ 和 $\Omega_b\in\PP^D(b)$，$T(p;\Omega_b)\leq T(p;\Omega_a)$ 当且仅当 $\gamma_{D,p}b\geq a$，其中 $\PP^D(r)$ 表示 $\mathbb{R}^D$ 中内半径为 $r$ 的凸有界域族。此外，我们讨论了渐近相等的情况、极限情形 $p\rightarrow 1^+$ 和 $p\rightarrow\infty$，以及我们的界在矩形、正交体、椭圆和三角形等模型族上的尖锐性。作为我们主定理的直接推论，我们还在额外的几何约束下推导了一个圣维南类型的比较结果。