通过扭转函数求解Cheeger问题

对于有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$, $N>1$ 的Cheeger问题在于最小化所有光滑子区域 $E\subset\Omega$ 的商 $|\partial E|/|E|$，而Cheeger常数 $h(\Omega)$ 是这些商的最小值。令 $\phi_{p}\in C^{1,\alpha}(\bar{\Omega})$ 为 $p$-扭转函数，即扭转蠕变问题 $-\Delta_{p}\phi_{p}=1$ 在 $\Omega$ 中，$\phi_{p}=0$ 在 $\partial\Omega$ 上的解，其中 $\Delta_{p}u:=\operatorname{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ 是 $p$-拉普拉斯算子，$p>1$。本文强调了这些问题之间的联系。我们证明了 $\lim_{p\rightarrow1^{+}}(\|\phi_{p}\|_{L^{\infty}(\Omega)})^{1-p}=h(\Omega)=\lim_{p\rightarrow1^{+}}(\|\phi_{p}\|_{L^{1}(\Omega)})^{1-p}$。此外，我们推导出关系 $\lim_{p\to1^{+}}\|\phi_{p}\|_{L^{1}(\Omega)}\geq C_{N}\lim_{p\to1^{+}}\|\phi_{p}\|_{L^{\infty}(\Omega)}$，其中 $C_{N}$ 是一个仅依赖于 $N$ 和 $h(\Omega)$ 的常数，在文中明确给出。Dirichlet 1-拉普拉斯算子的一个特征函数 $u\in BV(\Omega)\cap L^{\infty}(\Omega)$ 是通过当 $p\rightarrow1^{+}$ 时，族 $\{\phi_{p}/\|\phi_{p}\|_{L^{1}(\Omega)}\}_{p>1}$ 的一个子序列在强 $L^{1}$ 极限下获得的。$u$ 的几乎所有 $t$-水平集 $E_{t}$ 都是Cheeger集，并且我们在Cheeger集 $|E_{0}|$ 上对 $u$ 的估计得到 $|B_{1}|h(B_{1})^{N}\leq |E_{0}|h(\Omega)^{N},$ 其中 $B_{1}$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ 中的单位球。对于凸的 $\Omega$，我们得到 $u=|E_{0}|^{-1}\chi_{E_{0}}$。